Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Понятие матрицы. Ее виды и элементы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

 или 

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij || , а иногда с разъяснением:  А = || a ij || = ( a ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).

Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадратной матрицы

 (1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а11 а12 … ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ аn1 а(n-1)2 … a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Канонические уравнения параболы.

Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:

х2 = 2ру. (16)

Фокус F(0; ), уравнение директрисы: у = –.

 Рис. 7.

х2 = –2ру. (17)

Фокус F(0; –), уравнение директрисы: у = .

 Рис. 8.

у2 = 2рх. (18)

Фокус F(; 0), уравнение директрисы: х = –.

 Рис. 9.

у2 =–2рх . (19)

 Фокус F(–; 0), уравнение директрисы: х =.

 Рис. 10.

Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).

Транспонирование матрицы. Свойства транспонирования.

Свойства определителей. Свойство № 1: Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот ( Транспонирование).

Определители второго и третьего ранга. В приложениях часто встречаются определители второго и третьего порядков.

Теорема о разложении: Определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда (строки или столбца) его на их алгебраические дополнения.

Правило Лапласа.Теорема Лапласа.

Алгоритм вычисления обратной матрицы.Находим определитель матрицы, т.е.. Находим транспонированную матрицу, т.е..

Решение систем линейных уравнений методом Крамера. Коэффициенты и свободные члены СЛАУ запишем в виде матриц и назовем их: A - матрица системы, а A1 - расширенная матрица системы.

Метод Гаусса. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

 

Если обозначить х-х0=Dх (приращение аргумента), f(x)-f(x0)=Dy  (приращение функции, соответствующее приращению аргумента Dх), то это определение можно записать в эквивалентной форме.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и 

 

Таким образом, если функция f(x) непрерывна в точке х0, то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.


Понятие дифференциала функции