Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Матричный метод.

Запишем систему (1) в матричном виде:
AX=B, где

Рассмотрим случай, когда число неизвестных совпадает с числом уравнений.
Тогда решение системы находится по формуле:

A-1B=X

Векторы на плоскости и в пространстве.

Пусть векторы а и b неколлинеарны. Тогда, если числа х и у удовлетворяют условию

х • а + у • b = 0,                                 (1)

то х = 0 и у = 0.

В самом деле, если, например, х =/= 0, то из (1) слeдует, что

а = -  y/x • b

А это противоречит   тому,   что векторы а и b неколлинеарны. Таким образом, х = 0.

Аналогично доказывается, что и у = 0.

Говорят, что вектор а является линейной комбинацией векторов a1, a2, a3, ..., an, если он представим в виде

а = x1a1+ x2a2+ x3a3+ ...+ xnan,

где x1 , x2 ,..., xn — некоторые числа.

Так, вектор а = 3a1 — 5a2 + 1/2 a3 есть линейная комбинация векторов a1, a2 и a3.

Каноническое уравнение гиперболы: 

 . (15) 

Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):

O – центр гиперболы;

с – фокусное расстояние;

F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы гиперболы;

|А1А2| = 2a – длина вещественной оси;

а – вещественная полуось гиперболы;

|B1B2| = 2b – длина мнимой оси;

b – мнимая полуось гиперболы.

Уравнения асимптот гиперболы:

 .

 

Для гиперболы справедливо: с2 = a2 + b2.

 Число  называется эксцентриситетом гиперболы .

Если вектор т коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем т =  х • а  = х • а  + 0 • b.

Основная задача межотраслевого баланса. Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Размерность и базис векторного пространства. Векторное пространство  называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Переход к новому базису. Пусть в пространстве  имеется два базиса:  и .

Линейные операторы. Определение 1. Линейным оператором в линейном n- мерном пространстве Rn называется всякое отображение A: Rn Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторыRn пространства Rn в себя, обладающее свойствами:

Квадратичные формы.Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х1 и х2 Ф(х1, х2) = а11  ,

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Точка пересечения прямых. A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Непрерывность функции одной переменной

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и

 

Если обозначить х-х0=Dх (приращение аргумента), f(x)-f(x0)=Dy  (приращение функции, соответствующее приращению аргумента Dх), то это определение можно записать в эквивалентной форме.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и 

 

Таким образом, если функция f(x) непрерывна в точке х0, то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.


Понятие дифференциала функции