Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Теорема. Любой вектор m на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации двух любых неколлинеарных векторов а и b:

.             m = х • а + у • b.         (2)

Если вектор т коллинеарен одному из векторов а и b (например, вектору а), то для некоторого числа х имеем Точка перегиба. Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной.

т =  х • а  = х • а  + 0 • b.

Тем самым вектор т представлен в виде (2).

Если же вектор т не коллинеарен ни вектору а, ни вектору b (рис. 25), то, проведя через точку М прямые, параллельные [ОВ) и [ОА), имеем

m =  OE> +  OF>.

Но тогда по признаку коллинеарности векторов существуют такие числа х и у, что OE>= ха,  OF> = yb, откуда и вытекает равенство (2).

Докажем единственность такого представления. Пусть

т = x1a  + у1b   и   т = x2a  + у2b.

Тогда (x1 — x2)а + (у1 — у2)b = 0. Но так как векторы а и b неколлинеарны, то равенство возможно только при x1 = x2 и у1 = у2. Единственность доказана.

Если вектор представлен в виде линейной комбинации каких-то векторов, то говорят, что вектор разложен по этим векторам.

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.

Пусть e1 и e2 — некоторый базис и а — произвольный вектор, тогда по доказанной теореме существуют два числа х и у такие, что

а = хe1 + уe2.

Числа х и у называются координатами вектора а в данном базисе. В этом случае пишут а = (х; у).

Справочный материал по темам «Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве»

Матрицы

Матрицей размерности m ´ n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):

Am´n  =, где aij – элементы матрицы,

i = 1,2,…, m – номер строки, j = 1,2,…, n – номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.

Некоторые виды матриц:

нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю;

при  n = 1 матрица-столбец: X = ;

при m = 1 матрица-строка: Y = ;

при m = n квадратная матрица: An´n = .

 У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a11 и ann ) и побочную диагональ.

Непрерывность функции на промежутке

Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Односторонняя непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале (а;х0] и

 

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале [х0;в) и

 

Функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т.е. когда

 


Понятие дифференциала функции