Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Основная задача межотраслевого баланса.

Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице А экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск X, необходимый для удовлетворения заданного спроса Y.

Если матрица обратима, то решение такой задачи определяется как X=(E-A)-1Y. Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f.

Матрица D=(E-A)-1 называется матрицей полных затрат.

Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA*.

            Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x1 + x2 + … + xn

            Доказательство.

            1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

            2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

 Примеры квадратных матриц:

единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой

 стоят единицы, а остальные элементы – нули): 

E =;

2) квадратная матрица второго порядка: ;

3) квадратная матрица третьего порядка: .

 

 Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:

Am´n  = Bm´Û aij = bij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Непрерывность функции на промежутке

Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Односторонняя непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале (а;х0] и

 

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале [х0;в) и

 

Функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т.е. когда

 


Понятие дифференциала функции