Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Окружность и эллипс.

Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от одной и той же точки.

Уравнение окружности имеет вид

(x - a)2 + (y - b)2 = r2,

где a и b - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Если же центр окружности находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид

x2 + y2 = r2.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Простейшее уравнение эллипса

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a2 - b2 = c2.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.

Решение задачи 4.

1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):

.

Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке  (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам:  В результате получим каноническое уравнение параболы  в системе координат X1O1Y1.

 Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:

 

 

Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А(3; 0) и В(1; 1).

3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15).

Ответы: 1)

2) А(3; 0), В(1; 1); 

3) чертеж на рис. 15. 

Гипербола и парабола. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой.

Частные случаи общего уравнения плоскости:1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

Непрерывность функции на промежутке

Функция f(x) называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Односторонняя непрерывность

Функция f(x) называется непрерывной слева в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале (а;х0] и

 

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке х0, если она определена на некотором полуинтервале [х0;в) и

 

Функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т.е. когда

 


Понятие дифференциала функции