Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Функции

Понятие множества и их виды

Определение. Множеством М называется объединение в единое целое определенных различимых однотипных объектов а, которые называются элементами множества.

а Î М Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2)

Множество можно описать, указав какое-то свойство, присущее всем элементам этого множества.

Множество, все элементы которого являются числами, называется числовым. В дальнейшем мы будем, прежде всего, рассматривать именно такие множества. Множество, элементами которого являются другие множества, называется классом или семейством.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. При подсчёте количества элементов учитываются только различные (неповторяющиеся) элементы.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается символом Æ.

Множество может быть задано перечислением (списком) своих элементов, порождающей процедурой или описанием характеристических свойств (предикатом), которым должны обладать его элементы. Причём в последнем случае необходимо формулировать описание характеристических свойств элементов множества достаточно корректно, для того, чтобы множество было определено вполне однозначно. Добавим, что многие числовые множества могут быть заданы всеми тремя указанными способами (например, множество чётных однозначных чисел).

Мощностью конечного множества М называется количество его элементов. Обозначается . Если , то множества А и В называются равномощными.

Определение. Если все элементы множества А являются также элементами множества В, то говорят, что множество А включается (содержится) в множестве В.

 А

 В

А Ì В

Определение. Если А Í В, то множество А называется подмножеством множества В (также говорят, что В покрывает А). Если при этом А ¹ В, то множество А называется собственным подмножеством множества В и обозначается А Ì В.

Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:

Требуется:

1) вычислить длину ребра AB;

2) найти уравнение плоскости грани ABC;

3) найти угол  между гранями ABC и BCD;

4) составить параметрические уравнения прямой AB;

5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;

6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;

7) найти угол  между ребрами AB и BC;

8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;

9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.

Способы задания функций. 1. аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы).

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул.

Понятие обратной и сложной функции. Взаимно обратные функции.

Классификация элементарных функций. Функции:  - степенная;

Числовая последовательность и ее предел Числовая последовательность – функция вида y = f(x), x О N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,….

Непрерывность функции. Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка I, то ее называют непрерывной на промежутке I (промежуток I называют промежутком непрерывности функции f).

Свойства функций непрерывных на отрезках. Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.

Свойства функций, непрерывных в точке

Если f(x) и g(x) непрерывны в точке х0, то функции f(x)±g(x); f(x).g(x); и f(x)/g(x) (если g(x)¹0) также непрерывны в точке х0.

Если функция u(x) непрерывна в точке х0, а функция f(u) непрерывна в точке u0=u(x0), то сложная функция f(u(x)) непрерывна в точке х0.

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Теорема (Больцано - Коши). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(в) = В, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

Следствие. Если функция y =f(x) непрерывна на отрезке [а;в] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка [а;в] найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция f(x) обращается в ноль: f(c)= 0.


Понятие дифференциала функции