Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Схема вычисления производной

Задача о касательной.

Пусть дана функция у = f(x), график которой изображен на рис. 111, и точка А(х0, у0) на этом графике. Возьмем на кривой справа от точки A(х0, у0) точку В и проведем через эти точки прямую, которую назовем правой секущей.

Рис. 111

Угловой коэффициент этой секущей найдем из треуголь­ника ABC:

Если точка В перемещается по кривой, приближаясь к точке А, то секущая поворачивается вокруг точки А,

Предположим, что она приближается к некоторому предельному положению. Теорема. Всякая выпуклая (вогнутая) кривая имеет в каждой точке правую и левую касательные.

Экономический смысл производной. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции x.

Схема вычисления производной. Вычисление производной функции  у=f(x)  производится по следующей схеме: Находим приращение функции на отрезке :

Определение. Предельное положение правой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой приближается к точке (х0, у0), называется правой касательной в точке (х0, у0).

Из определения правой касательной следует, что ее угло­вой коэффициент kкас. пр равен

Возьмем теперь на графике функции y = f(x) точку В1 (x1, y1) слева от точки А (х0, у0) (рис. 112) и проведем через точки А и В, секущую, которую назовем левой секущей. Угловой коэффициент левой секущей есть

 причем Dx < 0.

Определение. Предельное положение левой секущей, когда ее переменная точка пересечения с кривой прибли­жается к точке (x0, у0), называется левой касательной в точке (х0, y0).

По определению левой касательной ее угловой коэффи­циент

 Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали , перпендикулярного этой плоскости: ={3; 7; –4}.

Косинус угла  между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем по формуле(50):

Отсюда .

Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2;1;1) и имеющей направляющий вектор  = {–1; 1; –2} (формулы (51)):

  – параметрические уравнения AB.

Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки  (формулы (53)): 

 

откуда, обозначив каждую из дробей буквой t, получаем:

  – параметрические уравнения AB.

  Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор , коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, == {9; 17; 4}. Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D(–1; 0; –3) и вектор ={9; 17; 4} (формулы (52)):

– канонические уравнения DK.

Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей в канонических уравнениях буквой t, получаем:

   – параметрические уравнения  DK.

Точки разрыва функции

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является непрерывной в этой точке, причем:

а) если оба односторонних предела  и  конечны, но не равны между собой, то х0- точка разрыва первого рода;

б) если оба односторонних предела  и  конечны, равны между собой, но не равны f(x0), то х0 - точка устранимого разрыва первого рода;

в) если хотя бы один из односторонних пределов  или  бесконечен, или не существует то х0 - точка разрыва второго рода.


Понятие дифференциала функции