Сайт рулетка кс го ставки скинами рулетка скинов кс го Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Схема вычисления производной

Сложная функция. Правила дифференцирования функции.

Если функция f имеет производную в точке х0, а функция g имеет производную в точке y0=f(x0)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х0, причем

h’(x0) = g’(f(x0))•f’(x0) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

Производная сложной функции

при Δx→0. Введем обозначения: Δy = f(x0+Δx)-f(x0)= Δf

Тогда Δh = h(х0 + Δх) - h(x0) = g(f(x0 +Δx)) - g(f(x0)) = g(y0 + Δy) - g(y0) = Δg.
Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x0. Сайт рулетка кс го ставки скинами рулетка скинов кс го
Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х0.

Дифференцирования сложной функции

Сложная функция (композиция функций, суперпозиция функций) обозначается ~f(g(x))или f\circ g(x).

Производная композиции равна:

\frac{d(f\circ g(x))}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).

Если необходимо взять производную от композиции трех и более функций, то последовательно применяем указанное выше правило. Например,

\frac{d(f\circ g\circ h(x))}{dx} = f'(g\circ h(x))\cdot \frac{d(g\circ h(x))}{dx} = 
f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x).

Решение задачи 1.

 Записываем матричный многочлен:   Здесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т.е. 3-го порядка.

Найдем матрицу A2. При умножении матрицы A на себя используем правило «строка на столбец» (формула (23)):

A2 = A·A =

  Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (21)):

E =

 Теперь найдем значение матричного многочлена f(A), используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):

Ответ:

Производная степенной функции. Если f(x) = xp, где p - действительное число, то Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x−p, то .

Применение дифференциального исчисления к исследованию экономических объектов и процессов на основе анализа этих предельных величин получило название предельного анализа.

Теорема Ферма. Теорема (Ферма). Пусть р – простое число, р не делит a . Тогда: a p-1 є 1(mod p) .Доказательство 1. Положим в условии теоремы Эйлера m=p , тогда j (m)=p-1 (см. пункт 14) . Получаем a p-1 є 1(mod p) .

Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции, функция y = f (x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любой пары точек х и х', а £ х < х' £ b выполняется неравенство f (x) £ f (x'), и строго возрастающей — если выполняется неравенство f (x) < f.

Наибольшее и наименьшее значение функции на интервале 1. Чтобы исследовать функцию на наибольшее (наименьшее) значение на интервале , надо исследовать ее, если это возможно, на отрезке .

Точка перегиба. Обычно кривая расположена около точки касания по одну и ту же сторону от касательной.

Точки разрыва функции

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не является непрерывной в этой точке, причем:

а) если оба односторонних предела  и  конечны, но не равны между собой, то х0- точка разрыва первого рода;

б) если оба односторонних предела  и  конечны, равны между собой, но не равны f(x0), то х0 - точка устранимого разрыва первого рода;

в) если хотя бы один из односторонних пределов  или  бесконечен, или не существует то х0 - точка разрыва второго рода.


Понятие дифференциала функции