Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Понятие дифференциала функции

Свойства дифференциала.

Дифференциал функции.

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать:   , где 0, при 0.

Следовательно:     .

Величина aΔx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f΄ (x)Δx, т.е. f΄(x)Δx- главная часть приращения Dу.

 Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что  dy = f΄(x)Δx  или

dy = f΄(x)dx.

 Можно также записать:

Свойства дифференциала

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы:

d(u±v) = du ±dv

d(uv) = udv+vdu

 (при условии, что V(x) ¹ 0)

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.

Тема 1. Матрицы и определители.

Понятие матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, единичная, диагональная). Равенство матриц. Действия над матрицами (умножение матрицы на число, сложение, вычитание,  умножение матриц, транспонирование матриц). Определители 2-го, 3-го и n-го порядка. Минор и алгеброическое дополнение. Обратная матрица и ее вычисление.

Тема 2. Системы линейных уравнений .

3 случая решения системы. Элементарные преобразования над системой. Матричная запись системы линейных уравнений. Решение системы методом Гаусса, с помощью обратной матрицы, по формулам Крамера.

Тема 3. Арифметические векторы.

Векторы. Линейные операции над ними. Скалярное произведение. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Тема 4. Функции.

Функции и способы их задания. Область определения, область значений. Монотонные, ограниченные функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

Тема 5. Пределы.

Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Правила нахождения пределов. Вычисление пределов.

Инвариантность формы дифференциала Получена формула: dy = f'(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная.

Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение производной

Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

 

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).


Понятие дифференциала функции