Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Понятие дифференциала функции

Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки

Пусть требуется найти интеграл , причем непосредственно подобрать первообразную для f(x) мы не сможем , но нам известно, что она существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x=ц(t), (1)

где ц(t)-непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда dx= ц′(t)dt;докажем, что в этом случае имеет место следующее равенство:

 (2)

Здесь подразумевается, что после интегрирования в правой части равенства вместо t будет подставлено его выражение через х на основании равенства (1).

Для того чтобы установить, что выражения, стоящие справа и слева, одинаковы в указанном выше смысле, нужно доказать, что их производные по х равны между собой . Находим производную от левой части : Правую часть равенства (2) будем дифференцировать по х как сложную функцию, где t-промежуточный аргумент. Зависимость t от х выражается равенством (1), при этом  и по правилу дифференцирования обратной функции .

Таким образом, имеем

Следовательно, производные от х от правой и левой частей равенства (2) равны, что и требовалось доказать.

Функцию  следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2).


Нахождение неопределенного интеграла методом интегрирования по частям

Пусть u и v две дифференцируемые функции от х. Тогда, как известно, дифференциал произведения uv вычисляется по следующей формуле :d(uv)=udv+vdu.Отсюда, интегрируя, получаем или

. (1)

Последняя формула называется формула интегрирования по частям. Эта формула чаще всего применяется к интегрированию выражений которые можно так представить в виде произведения двух сомножителей u и dv, чтобы отыскать функцию v по её дифференциалу dv и вычисления интеграла  составляли в совокупности задачу более простую, чем непосредственное вычисление интеграла. Умение разбивать разумным образом данное подынтегральное выражение на множители u и dv вырабатывается в процессе решения задачи , и мы покажем на ряде примеров, как это делается.

Пример 1. ? Положим u=x,dv=sinxdx;тогда du=dx,v= -cosx.Следовательно,

.

Замечание. При определении функции v по дифференциалу dv мы можем брать любую произвольную постоянную, так как в конечный результат она не входит (что легко проверить, подставив в равенство(1) вместо v выражение v+C). Поэтому удобно считать эту постоянную равной нулю.

Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях. Так, например, интегралы вида

некоторые интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции, вычисляются с помощью интегрирования по частям.

Тема 6. Дифференциальное исчисление.

Определение производной. Основные правила дифференцирования: производная суммы, разности, произведения и частного. Таблица производных. Производная сложной функции.

Дифференциал функции. Свойства дифференциала.

Тема 7. Неопределенный интеграл.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки и метод подведения под дифференциал). Метод интегрирования по частям.

Тема 8. Определенный интеграл.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона-Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Приложения определенного интеграла.

Тема 9.Числовые и степенные ряды.

Понятие числового ряда. Сходимость ряда и его сумма. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости: сравнения и Даламбера. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.

Тема 10. Дифференциальные уравнения.

Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши. Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными и линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение производной

Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

 

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).


Понятие дифференциала функции