Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Понятие дифференциала функции

Определенный интеграл.

Пусть функция у = f(x) определена во всех точках отрезка [а; b]. Произвольной конечной системой точек x1, i = 0, 1, ... , n, таких что

а = х0 < х1 < х2 < ... < хn-1 < хn = b

разбиваем отрезок [а; b] на отрезки [xi; xi+1]; i = 0, 1, ... , n - 1.

На каждом из полученных отрезков произвольным образом выбираем точку ci+1: ci+1 Определенный интеграл[xi; xi+1], и рассчитываем значение функции у = f(x) в этих точках.

Составляем так называемую интегральную сумму, соответствующую данной разбивке xi и выбору точек ci+1, i = 0, 1, ... , n - 1:

Определенный интеграл

где Определенный интегралxi = хi+1 - хi

Обозначим через Определенный интеграл= max |Определенный интегралxi|, т. е. Определенный интеграл- длина наибольшего из отрезков [xi; xi+1].

Определение 1. Если при Определенный интеграл-> 0 (n -> Определенный интеграл) существует конечный предел интегральных сумм Определенный интеграл, то этот предел называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; b]:

Определенный интеграл

Определение 2. Если существует определенный интеграл функции у = f(x) на некотором отрезке, то функция называется интегрируемой на этом отрезке.

К числу наиболее важных типов интегрируемых функций относятся непрерывные функции; ограниченные функции, имеющие конечное число точек разрыва; ограниченные монотонные функции.

Свойства определенного интеграла.

- это соглашение

Если , то: - это, также, соглашение

Если - интегрируемы на ,то:

а).

б). Существует

Если существует и , то существует

Если - интегрируема на , , то:

Если существуют и , то существует

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М. : Высш. шк., 1998.– 479 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М. : Высш. шк., 1999.– 304 с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М. : Высш. шк., 2001.– 304 с.

Несобственные интегралы и вычисление их .Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение производной

Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

 

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).


Понятие дифференциала функции