Дифференциальные уравнения

Задачи по математике Понятие дифференциала функции

Ряды

Понятие числового ряда. Сходимость ряда.

В настоящей главе обобщим понятие суммы на некоторые случаи бесконечного числа слагаемых и изучим свойства таких сумм.

Определение 1. Пусть задана последовательность чисел

 а1, а2, а3, ..., аn, ... (1.1)

Выражение вида

  (1.2)

называется рядом, а число аn - его n-ным членом, n = 1,2,... .

Сразу же заметим, что в нашем случае (1.2) - числовой ряд. Если же последовательность  есть последовательность функций, то ряд называется функциональным (аn = fn(x), n = 1,2,...).

Определение 2. Конечная сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой, а оставшиеся члены, начиная с n + 1, написанные в том же порядке, что и в данном ряду, называется n-ным остатком ряда.

 (1.3)

Sn - n-ная частичная сумма (n = 1,2,...,k)

Rn = an+1 + an+2 + ... + an+i + ... , (1.4)

Rn - остаток ряда.

Определение 3. Ряд  называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм  сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.

Если ряд сходится, то  называется его суммой.

. (1.5)

Если , то .

Если ряд  - функциональный, то есть un = fn(x), то для каждого фиксированного аргумента х числовой ряд f1(x0) + f2(x0) + f3(x0) + ... или сходится, или расходится. Соответственно этому точку х будем называть точкой сходимости или точкой расходимости.

Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка.

№ вар.

Уравнение кривой

№ вар.

Уравнение кривой

1

7x2 – 9y2 + 42x+ 18y – 9 = 0

6

9x2 + 4y2 – 54x+ 8y+ 49 = 0

2

x2 + 2x – 12y + 37 = 0

7

x2 – 10x + 4y + 17 = 0

3

5x2 + 9y2 + 10x – 54y + 41 = 0

8

3x2 – y2 – 30x – 2y + 62 = 0

4

y2 + 6x+ 6y – 3 = 0

9

y2 – 8x – 4y – 4 = 0

5

5x2 – 4y2 – 20x – 24y – 36 = 0

10

7x2 + 16y2 – 56x+ 64y+ 64 = 0

Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.

Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.

№ варианта

Уравнение кривой

Уравнение прямой

1

x2 + 2y2 – 2x + 8y + 3 = 0

x + 2y + 3 = 0

2

x2 – 2y2 + 4x + 4y – 6 = 0

x + 2y = 0

3

x2 + 6x – 16y + 25 = 0

x – 4y + 15 = 0

4

x2 + 4y2 – 6x + 8y + 5 = 0

x – 2y – 5 = 0

5

y2 – 4x – 6y – 15 = 0

2x + y – 3 = 0

6

x2 – 5y2 + 10x + 20y – 15 = 0

x – 5y + 15 = 0

7

x2 + 4y2 + 2x – 32y + 45 = 0

x – y + 5 = 0

8

x2 – 4x + 8y + 44 = 0

x – 2y – 20 = 0

9

2x2 – y2 – 16x – 6y + 19 = 0

x – y – 7 = 0

10

y2 + 10x + 8y – 34 = 0

2x + y + 4 = 0

Требуется: 

1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду; 2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой; 

3)  построить обе линии в исходной системе координат.

Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда.

Ряды с положительными членами. Определение 1. Числовой ряд называется положительным, если все его элементы не отрицательны.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (2).Признак абсолютной сходимости.

Область сходимости степенного ряда. Теорема. (о структуре области сходимости степенного ряда).

Производная и дифференциал функции одной переменной

Определение производной

Производной функции y=f(x) называется конечный предел приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

 

Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).


Понятие дифференциала функции