Функции Понятие множества и их виды

Задачи по математике Закон распределения дискретной случайной величины

Дифференциальные уравнения

Понятие дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

F(x, y, y/ ,y//,..., y(n)) = 0. (1.1)

Если уравнение (1.1) имеет вид :

а0(х)×у(n) + а1(х)×у(n-1) + ... + аn(х)×у = f(x), (1.2)

где аi(х) (i=0,1,...,n) называются коэффициентами уравнения (линейного); они обычно определены и непрерывны на некотором общем интервале, а f(x) - правая часть линейного уравнения или свободный член.

Если f(x) º 0 уравнение (1.2) называется однородным, в противном случае - неоднородным. Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Любая функция у = j(х), подставленная в (1.2), обращающая его в тождество, называется решением этого уравнения. График решения (то есть кривой у=j(х)) называется интегральной кривой.

Основная задача - отыскание (поиск) функции у, производная которой равна данной непрерывной функции f(x), - то есть сведение к простейшему дифференциальному уравнению у/ = f(x).

Общее решение этого уравнения есть

, (1.3)

где С - произвольная константа, а  - одна из первообразных.

Выбрав надлежащим образом С, можно получить любое решение этого простейшего дифференциального уравнения.

Определение 1.1. Общим решением дифференциального уравнения (1.1) называется такое его решение y = j(x,C1,C2,...,Cn), которое содержит число констант, равное порядку этого уравнения.

Если общее решение записано в неявном виде F(х,у,С1,...,Сn) = 0, то его обычно называют интегралом.

Определение 1.2. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего при определенных значениях независимых постоянных, называется частным решением этого уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида

,                                                         (82)

где  – заданные функции и . Если уравнение (82) разделить на , то его можно переписать в виде

,                                                             (83)

где  и , при этом  называется свободным членом или правой частью уравнения. Будем считать, что функция  и свободный член  уравнения (83) непрерывны на некотором интервале .

Если в уравнении (83) , то данное уравнение называется однородным, в противном случае уравнение (83) называется неоднородным.

Разделим многочлен числителя на многочлен знаменателя по теореме Безу для сокращения дроби.

Замечание: Иногда перед сокращением, целесообразно предварительно многочлен разложить на множители, применяя способ группировки или формулы сокращенного умножения.

Иногда удобнее внести замену переменных:

   

   

– дробь, содержащая иррациональное выражение (корни). Полезно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или наоборот, а затем после преобразования, дробь сократить.

 

Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка.

Решить систему линейных уравнений (СЛАУ) методами Крамера, Гаусса и в матричной форме .

Линейные однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейное уравнение имеет вид: а(х)×у/ + b(х)×y + c(x) = 0, (1.9).

Решение в матричной форме. В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:.

Метод Гаусса 1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее: .

Найти разложение вектора х={3,-1,2} по векторам p = {2,0,1}, q={1,-1,1}, r = {1,-1,2}.

Вероятность попадания в цель равна 0,4. Найти вероятность 5 попаданий в цель из 8 выстрелов.

Раскрыть неопределенность вида  или  с использованием правила Лопиталя:.

 

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале   Решение1. Находим первую производную заданной функции.

По заданным координатам вершинам А, В, С треугольника определить длины сторон, углы и площадь его А(3;-1;2); В(1; 2; -1); С(-1; 1; 3).

Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц А и В , .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервале   Решение 1. Находим первую производную заданной функции

.

Вычислить предел функции с использованием основных теорем .

Геометрический смысл производной

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х0. Тогда существует касательная к графику этой функции в точке М0(х0;у0), уравнение которой имеет вид

 у-у0=f¢(x0)(x-x0).

При этом f¢(x0)=tga, где a-угол наклона этой касательной к оси Ох.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой и имеет уравнение

 


Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции