Используя метод разложения найти интеграл
Решение
![]()
Задача 23
Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции
Математика лекции и примеры решения задач Неопределенный интеграл Примеры вычисления интегралов
Решение
Вычислим первую и вторую производную:
,
в точках x = 1 и 1/2. При х < 1/2
, при х > 1/2 и х < 1
, и при х > 1
. Функция выпукла вниз на интервалах (-¥;1/2) и (1; ¥), и вогнута вверх на интервале (1/2;1). х = 1,2 и 1 - точки перегиба.
Задача 25
Вычислить определенный интеграл
Решение
Задача 27
Найти
Решение
Сделаем замену t = -x1/2
Ответ:
Функция одной переменной. Графики элементарных функций
Понятие функции
Если каждому элементу (значению) х множества Х поставить в соответствие определенный элемент (значение) у множества У, то говорят, что на множестве Х задана функция y=f(x); при этом множество Х называется областью определения функции y, а множество У - областью значений функции у.
Основные характеристики функции
Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). В противном случае f(x) – функция общего вида.
Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции f(x). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.
Функция f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое число М>0, что ½f(x)½<М, для всех хÎХ. В противном случае функция называется неограниченной.
Функция f(x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что при любом хÎХ значение (х+Т)ÎХ и f(x+T) = f(x).
При этом число Т называется периодом функции.
Обратная функция
Пусть задана функция y=f(x) с областью определения Х и множеством значений У. Если каждому значению уÎУ соответствует единственное значение хÎХ, то определена функция х=j(у) с областью определения У и множеством значений Х. Такая функция j(у) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде:
x=j(у)=
Про функции y=f(x) и x=j(y) говорят, что они являются взаимно обратными.
Определить длины сторон, углы и площадь треугольника, заданного его вершинами
,
,
.
Найти линейное уравнение регрессии и оценить тесноту связи для статистических данных приведенных в таблица 5.
Вычислить определенный интеграл
методом интегрирования по частям .
Найти произведение АВ прямоугольных матриц
и
. Решение 1. Сопоставляя размеры заданных матриц.
Вычислить четность (нечетность) функций: a)
, б)
, в)
.Решение a)
- нечетна.
Найти интеграл от рациональной дроби
Решение 1. Представляем квадратный многочлен в знаменателе в виде произведения двух сомножителей:
1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:
,
Найти угол между плоскостями
,
Решение
j = 0.7297276561 rad = 41.8°.
Вычислить предел с использованием правила Лопиталя:
.
Дифференциал функции
Приращение Dу
дифференцируемой функции y=f(x) можно представить в виде где f¢(x)
-производная функции f(x); Dx-приращение
независимой переменной; a(Dх)-бесконечно
малая величина.
Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:
dx=Dx.
Поэтому дифференциал функции: