Функции Понятие множества и их виды

Задачи по математике Вычислить интеграл методом интегрирования по частям

Используя метод разложения найти интеграл

Решение

 

Задача 23

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции Математика лекции и примеры решения задач Неопределенный интеграл Примеры вычисления интегралов

Решение

Вычислим первую и вторую производную: ,

 в точках x = 1 и 1/2. При х < 1/2, при х > 1/2 и х < 1 , и при х > 1 .  Функция выпукла вниз на интервалах (-¥;1/2) и (1; ¥), и вогнута вверх на интервале (1/2;1). х = 1,2 и 1 - точки перегиба.

Задача 25

Вычислить определенный интеграл

Решение

Задача 27

Найти

Решение

Сделаем замену t = -x1/2

Ответ:

Функция одной переменной. Графики элементарных функций

Понятие функции

Если каждому элементу (значению) х множества Х поставить в соответствие определенный элемент (значение) у множества У, то говорят, что на множестве Х задана функция y=f(x); при этом множество Х называется областью определения функции y, а множество У - областью значений функции у.

Основные характеристики функции

Функция y=f(x) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). В противном случае f(x) – функция общего вида.

Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции f(x). Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Функция f(x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое число М>0, что ½f(x)½<М, для всех хÎХ. В противном случае функция называется неограниченной.

Функция f(x), определенная на множестве Х, называется периодической на этом множестве, если существует такое число Т>0, что при любом хÎХ значение (х+Т)ÎХ и f(x+T) = f(x).

При этом число Т называется периодом функции.

Обратная функция

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения Х и множеством значений У. Если каждому значению уÎУ соответствует единственное значение хÎХ, то определена функция х=j(у) с областью определения У и множеством значений Х. Такая функция j(у) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде:

 x=j(у)=

Про функции y=f(x) и x=j(y) говорят, что они являются взаимно обратными.

Определить длины сторон, углы и площадь треугольника, заданного его вершинами , , .

Найти линейное уравнение регрессии и оценить тесноту связи для статистических данных приведенных в таблица 5.

Вычислить определенный интеграл  методом интегрирования по частям .

Найти произведение АВ прямоугольных матриц  и . Решение 1. Сопоставляя размеры заданных матриц.

Вычислить четность (нечетность) функций: a) , б) , в) .Решение a) - нечетна.

Найти интеграл от рациональной дроби Решение 1. Представляем квадратный многочлен в знаменателе в виде произведения двух сомножителей:

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:,

Найти угол между плоскостями , Решение j = 0.7297276561 rad = 41.8°.

Вычислить предел с использованием правила Лопиталя: .

Дифференциал функции

Приращение Dу дифференцируемой функции y=f(x) можно представить в виде  где f¢(x) -производная функции f(x); Dx-приращение независимой переменной; a(Dх)-бесконечно малая величина.

Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

 dx=Dx.

Поэтому дифференциал функции:


Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции