Функции Понятие множества и их виды

Задачи по математике Вычислить интеграл методом интегрирования по частям

Найти интеграл от рациональной дроби

Решение

1. Представляем квадратный многочлен в знаменателе в виде произведения двух сомножителей:

.

2. Исходный интеграл приводим к виду:

3. Разлагаем подынтегральное выражение на сумму элементарных дробей

.

.

Откуда следует  , а исходный интеграл принимает вид суммы табличных интегралов:

Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и в - действительные числа, причем а < в.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

[а;в] ={х : а£ х £ в} - отрезок (сегмент, замкнутый прмежуток);

( а; в ) ={х : а< х < в} - интервал (открытый промежуток);

[а; в) = {х : а£  х < в} ;

(а;в] ={х : а< х£ в} - полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки);

(-¥] = {х : х £ в}[а;+¥) = {х : х ³ а};

(-¥;в) = {х : х < в}; (а;+¥) = {х : х > а};

(-¥; ¥) = {х : -¥ < х < +¥ } = R - бесконечные интервалы (промежутки).

Пусть х0 - любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х0 называется любой интервал (а;в), содержащий точку х0. В частности, интервал (х0 - e, х0 + e), где e > 0, называется e - окрестностью точки х0. Число х0 называется центром, а число e - радиусом.

Если х Î (х0 - e; х0 +e), то выполняется неравенство х0 - e < х < х0 + e.

Абсолютная величина (модуль) действительного числа

Абсолютной величиной действительного числа х называется само число х, если х неотрицательно, и противоположное число - х, если х отрицательно:

 ÷х÷ = . 

Очевидно, по определению, что ÷ х÷ ³0.

Свойства абсолютных величин:

1.   3.  

2.   4.

Абсолютная величина разности двух чисел ÷х - а÷ означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х <a, так и для х > a.

Поэтому, например, решениями неравенства ÷х -а÷< e (где e > 0) будут точки х интервала (а - e, а + e), удовлетворяющие неравенству а - e <x <a + e.

Дифференциал функции

Приращение Dу дифференцируемой функции y=f(x) можно представить в виде  где f¢(x) -производная функции f(x); Dx-приращение независимой переменной; a(Dх)-бесконечно малая величина.

Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

 dx=Dx.

Поэтому дифференциал функции:


Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции