Функции Понятие множества и их виды

Задачи по математике Вычислить интеграл методом интегрирования по частям

Методом замены переменной найти .

Решение

 

Делаем замену t = -2x+1

Делаем обратную подстановку

Задача 22

Вычислить предел с использованием правила Лопиталя:

.

Решение

.

Задача 24

Вычислить несобственный интеграл:

Решение

.

Задача 26

Интегрирование простейших рациональных дробей. Найти интеграл

Решение

1. Выделяем в знаменателе полный квадрат:

.

2. Исходный интеграл приводим к виду:

.

Исходный интеграл принимает вид суммы табличных интегралов:

Пределы и неравенства

Пусть все члены данной сходящейся последовательности неотрицательны. Тогда ее предел также неотрицателен:

   xn ³"Þ³ 0.

Пусть каждый член одной сходящейся последовательности больше или равен соответствующему члену другой сходящейся последовательности. Тогда и предел первой последовательности больше или равен пределу второй последовательности:

  , xn ³ yn "Þ a ³ b.

Пусть соответствующие члены трех данных последовательностей {xn}, {yn} и {zn} удовлетворяют условию xn £yn £zn.

Тогда если последовательности {xn} и {zn} сходятся к одному и тому же пределу, то последовательность {yn} также сходится к этому пределу:

 xn £yn £zn,  "n,  Þ 

Число е

Последовательность возрастает и ограничена сверху, а поэтому сходится. Ее пределом является замечательное иррациональное число е=2,71828182845…, служащее основанием натуральных логарифмов.

Таким образом,

Дифференциал функции

Приращение Dу дифференцируемой функции y=f(x) можно представить в виде  где f¢(x) -производная функции f(x); Dx-приращение независимой переменной; a(Dх)-бесконечно малая величина.

Дифференциалом (первого порядка) функции y=f(x) называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

 dx=Dx.

Поэтому дифференциал функции:


Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции