Выполнение сборочного чертежа Магнитные цепи | Законы Кирхгофа | Расчёт электрических цепей | Расчёт трёхфазных цепей | Математика | Пределы | Векторная алгебра | Матрицы | Геометрия | Интегрирование | Задачи | Квантовая физика Резонанс Реакции Электротехника лекции | На главную

Нормальные напряжения при изгибе.

Расчеты на прочность

Знать распределение нормальных напряжений по сечению балки при чистом изгибе, расчетные формулы и условия прочности.

Уметь выполнять проектировочные и проверочные расчеты на прочность, выбирать рациональные формы поперечных сечений.

Деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент. Материалы в машиностроении В машиностpоении и дpугих отpаслях пpомышленности пpименяется большое количество pазличных матеpиалов: сталь, чугун, цветные металлы, пластмассы и т.п. В зависимости от химического состава и технологии пpоизводства качественная хаpактеpистика одного и того же вида матеpиала может быть pазличной. Стандарты на матеpиалы устанавливают соpта и их pазновидности, маpки и дpугие хаpактеpистики.

Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом т (рис. 32.1а).

Рис. 32.1

При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

Сечения бруса, плоские и перпендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и перпендикулярными продольной оси.

Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные напряжения.

Поперечные размеры сечений не меняются.

Продольная ось бруса после деформации изгиба искривляется и образует дугу окружности радиуса р (рис. 32.16). Материал подчиняется закону Гука.

Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.16). Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется

слой, в котором нормальные напряжения о равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; р — радиус кривизны нейтрального слоя.

Рассмотрим деформацию слоя, расположенного на расстоянии у от нейтральной оси (участок АВ, рис. 32.1).

Длина участка до деформации равна длине нейтральной оси:

.

Абсолютное удлинение слоя  (рис. 32.1б).

Рис. 32.1б

Относительное удлинение ; .

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Еε.

Получим зависимость нормального напряжения при изгибе

от положения слоя:

.

Формула для расчета нормальных напряжений

при изгибе

Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).

dN — элементарная продольная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относительно нейтрального слоя.

dN = σи dA; dm = σи ydA.

Рис. 32.2

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

.

 - осевой момент инерции сечения.

Таким образом, .

Откуда Е / р = Mn / Jx. Ранее получено .

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

,

где Jx — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изображена на рис. 32.3.

Рис. 32.3

По эпюре распределения нормальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает на поверхности.

Подставим в формулу напряжения значение у = уmax.

Получим .

Отношение  принято обозначать Wx :

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления.

Размерность — мм3.

Wx характеризует влияние формы и размеров сечения на прочность при изгибе.

Напряжение на поверхности .

Рациональные сечения при изгибе

Определим рациональные сечения при изгибе, для этого сравним моменты сопротивления простейших сечений.

Осевой момент инерции прямоугольника (рис. 32.4) равен .

Осевой момент сопротивления прямоугольника

.

Сравним сопротивление изгибу двух прямоугольных сечений (рис. 32.5).

Рис. 32.4

Рис. 32.5

Вариант на рис. 32.56 обладает большим сопротивлением изгибу при прочих равных условиях.

Осевой момент инерции круга (рис. 32.6) равен .

Осевой момент сопротивления круга .

Рис. 32.6

Все необходимые расчетные данные (площади, моменты инерции и сопротивления) стандартных сечений приводятся в таблицах стандартов (Приложение 1).

Для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, выбирают сечения, симметричные относительно оси, вокруг которой совершается изгиб (рис. 32.7).

Пример

Сравним моменты сопротивления двух сечений одинаковой площади: двутавра (рис. 32.7г) и круга (рис. 32.7а).

Двутавр № 10 имеет площадь 12 см2, осевой момент инерции 198 см4, момент сопротивления 39,7 см3.

Круг той же площади имеет диаметр , осевой момент инерции Jx = 25,12 см4, момент сопротивления Wx = 6,2 см3.

.

Сопротивление изгибу у двутавровой балки в шесть раз выше, чем у балки круглого сечения.

Из этого примера можно сделать вывод: сечения прямоугольные, квадратные, круглые и ромбовидные нерациональны (рис. 32.7а, б).

Рис. 32.7

Для материалов, обладающих разной прочностью при растяжении и сжатии (хрупкие материалы обладают значительно большей прочностью на сжатие, чем на растяжение), выбирают асимметричные сечения тавр, рельс и др.

Расчет на прочность при изгибе

Рассчитать на прочность — это значит определить напряжение и сравнить его с допустимым.

Условие прочности при изгибе:

,

где [σи] — допускаемое напряжение.

По этому неравенству проводят проверочные расчеты после окончания конструирования балки.

Для балок из хрупких материалов расчеты ведут по растянутой и сжатой зоне одновременно (рис. 32.8).

Рис. 32.8

При проектировочном расчете определяют потребные размеры поперечных сечений балки или подбирают материал.

Схема нагружения и действующие нагрузки известны.

По условию прочности можно определить нагрузочную способность балки [Ми] = Wp[σ].

Примеры решения задач

Подобрать размеры сечения балки в виде двутавра. Известна схема нагружения балки (рис. 32.9), материал - сталь, допускаемое напряжение материала при изгибе [σр] = [σс] = 160 МПа.

Решение

1. Для защемленной балки реакции в опоре определять не следует.

Проводим расчеты по характерным точкам. Размеры сечения подбираем из расчета по нормальным напряжениям. Эпюру поперечных сил строить необязательно.

Определяем моменты в характерных точках.

Рис. 32.9

; ; .

В точке С приложен внешний момент пары, поэтому расчет проводим для левого сечения (без момента) и для правого — с моментом m.

; . Момент положительный.

; .

Момент в заделке ;

.

Выбираем соответствующий масштаб по максимальному значению изгибающего момента.

Опасное сечение — сечение балки, где действует максимальный момент. Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности

; ;

; Wx = 500 см3.

Основываясь на значении Wx = 500 см3 по таблице ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 30а: момент сопротивления Wx = 518 см3; площадь сечения А = 49,9 см3.

Рис. 32.10

Для сравнения рассчитываем размеры балки квадратного сечения (рис. 32.10) при том же моменте сопротивления сечения.

; b = h; .

.

Сторона квадрата . Площадь сечения балки .

.

Балка квадратного сечения в 4 раза тяжелее.


Контрольные вопросы и задания

1. Напишите формулу для определения нормального напряжения при изгибе в любой точке поперечного сечения.

2. Подберите размеры поперечного сечения балки в виде швеллера. Максимальный изгибающий момент 15кН-м; допускаемое напряжение материала балки 160 МПа.

В разделе "Прочие изделия" вносят нестандартные изделия, выбранные по каталогам, прейскурантам, техническим условиям и т.п. Запись изделий производят по однородным группам; в пределах каждой группы - в алфавитном порядке наименований изделий, а в пределах каждого наименования - в порядке возрастания основных параметров или размеров изделия.
Оформление чертежа